均值不等式的推导过程

学前教育 2019-12-15 21:44:34 101 作者：文/叶丹

导读：∵(a-b)²=a²-2ab+b²≧0；∴a²+b²≧2ab；当且仅仅当a=b时等号成立(a，b∈R）。∵(√m-√n)²=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn)；当且仅仅当m=n时等号成立(m，n∈R+)。

∵(a-b)²=a²-2ab+b²≧0；∴a²+b²≧2ab；当且仅仅当a=b时等号成立(a，b∈R）。∵(√m-√n)²=m-2√(mn)+n≧0；∴m+n≧2√(mn)；当且仅仅当m=n时等号成立(m，n∈R+)。

均值不等式的推导过程

均值不等式证明

用数学归纳法的证明

第一步：等价变换，分子增加又减去同一项，巧妙处是这一项指数的选取，正好是要证明的右端。

第二步：（1）把前面（a1+a2+...+ak）用上面假设n=k成立时较小的右端乘k代替，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k),两边乘k：

a1+a2+...+ak≥k（a1a2...ak）^(1/k),

因此≥成立。

（2）难点是a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

其实也很好证明（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，看成是k-1个数，加上a（k+1），也是k个数。

根据上面假设，n=k时，（a1+a2+...+ak）/k≥（a1a2...ak）^(1/k)是成立的，

注意！！！a1，a2，...，ak只是正数的代表，不限于什么正数，换成k个数：a（k+1），和k-1个（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1)，这个不等式也是成立的！代换一下，就成了：

a（k+1）+（k-1）（a1a2...a（k+1））^(1/(k+1))≥k[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

第三步：

前面两项提取k之后成为：

（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

使用前面一开始证明的n=2时的结果，a1+a2≥2√（a1a2）（当成公式，不是当成数）

（a1a2...ak）^(1/k)+[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)

≥2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/(k+1)]]^(1/k)}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[(k-1)/k(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...ak）^(1/k)[a(k+1)^(1/k)(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）-1/k+1/(k+1)]]}^(1/2)

=2{（a1a2...aka(k+1)）^(1/k)[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k]]}^(1/2)

=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）-1/k+1/k]]}^(1/2)

=2{[(a1a2...a(k+1))^[2/（k+1）]]}^(1/2)

=2(a1a2...a(k+1))^[1/（k+1）]

然后代入即可。

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